Scratch 中的非线性移动和构造等比数列
2024/5/5 14:25:00 Scratch 学习

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太长不看版

对于从 $(x_0, 0)$ 运动到 $(x_1, 0)$、每帧横坐标增加 $p \cdot (x_1 - x)$ 的非线性运动,角色横坐标 $x$ 和时间(经过的帧数)$t$ 之间有:

$$ x(t) = (x_1-x_0)\cdot(p-1)\cdot(1-p)^{t-1}+x_1 $$

以从 $(0, 0)$ 运动到 $(100, 0)$、每帧横坐标增加 $\frac{100 - x}{10}$ 为例: $$ x(t) = -90 \cdot (\frac{9}{10})^{t-1} + 100 $$

介绍

在动画中合理的使用非线性移动可以使动画看起来更加自然、舒适。在 Scratch 中最常用的非线性移动(之一)是这样的:

Scratch 中的非线性移动

Scratch 中的非线性移动代码

我们以上图所展示的运动为例,角色从 $(0, 0)$ 位置非线性的移动到了 $(100, 0)$ 的位置,每帧(每次循环)都会使横坐标增加 $\frac{100 - x}{10}$,因此距离目标位置越远运动速度越快、越近运动速度越慢,是一种非线性运动.
下面我们将探究角色横坐标 $x$ 随时间 $t$ 变化而变化的规律.

x - t 关系图像

推导

我们规定第一帧(经过一次循环)时 $t = 1$、第两帧时为 $t = 2$ ......

以上面提到的非线性运动为例,如果 $t = n$ 时角色的横坐标 $x$ 为 $a_n$,则:

$$ a_1 = 0 + \frac{100 - 0}{10} = 10 \\ $$ $$ a_n = a_{n-1} + \frac{100 - a_{n-1}}{10} = \frac{9}{10} a_{n-1} + 10 $$

如果通项公式形如 $a_{n} = A \cdot a_{n-1} + B$($A, B \in R$),我们可以构造等比数列

$$ 对于 \ a_{n} = A \cdot a_{n-1} + B\\ \therefore a_{n} = q \cdot a_{n-1} + (q - 1) \cdot t\\ \therefore a_n + t = q \cdot ( a_{n-1} + t ) \\ \therefore \frac{a_n + t}{a_{n-1} + t} = q \\ 可得公比为 \ q \ 的等比数列 \ {a_n + t} $$

$$ \therefore a_n = \frac{9}{10} \cdot a_{n-1} + (\frac{9}{10} - 1) \cdot (-100) \\[0.5em] \therefore a_n - 100 = \frac{9}{10} \cdot (a_{n-1} -100) \\[0.5em] \therefore \frac{a_n - 100}{a_{n-1} - 100} = \frac{9}{10} $$

现在我们得到了一个公比为 $\frac{9}{10}$ 的等比数列 ${a_n - 100}$.

$$ \because a_1 = 10 \\ \therefore a_1 - 100 = -90 $$

数列 ${a_n - 100}$ 的首项为 $-90$,我们可以得到它的通项公式:

$$ a_n - 100 = -90 \cdot (\frac{9}{10})^{n-1} $$

因此:

$$ a_n = -90 \cdot (\frac{9}{10})^{n-1} + 100 $$

所以对于这种情况,$x(t) = -90 \cdot (\frac{9}{10})^{t-1} + 100$.

更进一步,对于从 $(x_0, 0)$ 运动到 $(x_1, 0)$、每帧横坐标增加 $p \cdot (x_1 - x)$ 的非线性运动,有:

$$ a_1 = x_0 + p \cdot (x_1 - x_0) \\ \begin{align*} a_n &= a_{n-1} + p \cdot (x_1 - a_{n-1}) \\ &= (1-p) \cdot a_{n-1} + p \cdot x_1 \end{align*} $$

因此:

$$ \begin{align} & \therefore q = 1-p, \ t = \frac{p \cdot x_1}{1-p-1}=-x_1 \\ & \therefore \frac{a_n - x_1}{a_{n-1} - x_1} = 1-p \\ & \begin{align*} \therefore a_1 - x_1 &= x_0 - x_1 + p \cdot (x_1 - x_0) \\ &= (x_1 - x_0) \cdot (p - 1) \\ \end{align*} \\ & \therefore a_n - x_1 = (x_1 - x_0) \cdot (p - 1) \cdot(1-p)^{t-1} \\ & \therefore x(t) = (x_1-x_0)\cdot(p-1)\cdot(1-p)^{t-1}+x_1 \end{align} $$

使用表格验证,符合预期:

t Scratch 非线性移动中获取到的数据 使用 $x = -90 \cdot (\frac{9}{10})^{t-1} + 100$ 计算得的数据
1 10 10
2 19 19
3 27.1 27.1
4 34.39 34.39
5 40.951 40.951
6 46.8559 46.8559
7 52.17031 52.17031
8 56.953279 56.953279
9 61.2579511 61.2579511
10 65.13215599 65.13215599
11 68.61894039 68.61894039
12 71.75704635 71.75704635
13 74.58134172 74.58134172
14 77.12320755 77.12320755
15 79.41088679 79.41088679
16 81.46979811 81.46979811
17 83.3228183 83.3228183
18 84.99053647 84.99053647
19 86.49148282 86.49148282
20 87.84233454 87.84233454
21 89.05810109 89.05810109
22 90.15229098 90.15229098
23 91.13706188 91.13706188
24 92.02335569 92.02335569
25 92.82102012 92.82102012
26 93.53891811 93.53891811
27 94.1850263 94.1850263
28 94.76652367 94.76652367
29 95.2898713 95.2898713
30 95.76088417 95.76088417
31 96.18479576 96.18479576
32 96.56631618 96.56631618
33 96.90968456 96.90968456
34 97.21871611 97.21871611
35 97.4968445 97.4968445
36 97.74716005 97.74716005